Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^x+，a為常數(shù)，若f（x）為偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）由f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），即 2^x+=+a•2^x ，…2分
從而a=1． …4分
f（x）=2^x+． …5分
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增．
證明：任取 0＜x₁＜x₂，…6分
f（x₁）-f（x₂）=+--=（- ）+=（- ）（1-）=（- ）（ ），…..7分
由條件-∞＜x₁＜x₂，可得（- ）＜0，）（ ）＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增．…..10分
（3）∵函數(shù) f（x）=2^x+，令 t=2^x＞0，…..11分
則 y=t+，（ t＞0）…..12分
由基本不等式可得y=t+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，等號(hào)成立，…..14分
所以函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）．…..15分．
分析：（1）由f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），即 2^x+=+a•2^x，由此求得a的值．
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增，任取 0＜x₁＜x₂，證明f（x₁）-f（x₂）＜0，從而證明結(jié)論．
（3）函數(shù) f（x）=2^x+，令 t=2^x＞0，則 y=t+，利用基本不等式求出它的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的奇偶性以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．