分析 通過函數(shù)的奇偶性的定義求出函數(shù)的解析式,判斷①的正誤;
通過分析出函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)判斷②的正誤;
直接求解不等式的解集判斷③的正誤;
求出函數(shù)的最值判斷④的正誤.
解答 解:①∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴若x>0,則-x<0,故f(-x)=e-x(-x+1)=-f(x),
∴f(x)=e-x(x-1),故①錯;
②∵f(x)定義在R上的奇函數(shù),
∴f(0)=0,又x<0時,f(-1)=0,
x>0時,f(1)=0,故f(x)有3個零點(diǎn),故②正確;
③當(dāng)x<0時,令f(x)=ex(x+1)>0,解得-1<x<0,
當(dāng)x>0時,令f(x)=e-x(x-1)>0.
解得x>1,綜上f(x)>0的解集為(-1,0)∪(1,+∞),③正確;
④當(dāng)x<0時,f′(x)=ex(x+2),f(x)在x=-2處取最小值為$-\frac{1}{{e}^{2}}$,
當(dāng)x>0時,f′(x)=e-x(-x+2),f(x)在x=2處取最大值為$\frac{1}{{e}^{2}}$,
由此可知函數(shù)f(x)在定義域上的最小值為$-\frac{1}{{e}^{2}}$,最大值為$\frac{1}{{e}^{2}}$,而$\frac{1}{{e}^{2}}-(-\frac{1}{{e}^{2}})$=$\frac{2}{{e}^{2}}$<2,
∴?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|≤2,故④正確.
故答案為:②③④.
點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷,涉及函數(shù)的解析式的求法,函數(shù)的零點(diǎn)的求法函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值,不等式的解法,考查基本知識的綜合應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | f(x)在區(qū)間(0,$\frac{π}{4}$)上單調(diào)遞增 | |
B. | f(x)的一個對稱中心為($\frac{π}{6}$,-$\sqrt{3}$) | |
C. | 當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時,f(x)的值域?yàn)閇-2$\sqrt{3}$,0] | |
D. | 將f(x)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$,再向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到y(tǒng)=2sin(4x+$\frac{π}{3}$)-$\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
[0,400) | [400,480) | [480,550) | [550,750) | |
文科考生 | 67 | 35 | 19 | 6 |
理科考生 | 53 | x | y | z |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $-\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ | D. | $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=x3 | B. | $y=-\frac{1}{x}$ | C. | y=tanx | D. | $y=\left\{\begin{array}{l}x(x≥0)\\-x(x<0).\end{array}\right.$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $(0,\frac{1}{2}]$ | B. | [1,3] | C. | $[\frac{1}{2},1]$ | D. | (0,1] |
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