Question

12．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）=e^x（x+1），給出以下命題：
①當(dāng)x＞0時，f（x）=e^x（1-x）；
②f（x）有3個零點(diǎn)；
③f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，
其中正確命題的序號是②③④（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 通過函數(shù)的奇偶性的定義求出函數(shù)的解析式，判斷①的正誤；
通過分析出函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)判斷②的正誤；
直接求解不等式的解集判斷③的正誤；
求出函數(shù)的最值判斷④的正誤．

解答 解：①∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴若x＞0，則-x＜0，故f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x），
∴f（x）=e^-x（x-1），故①錯；
②∵f（x）定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，又x＜0時，f（-1）=0，
x＞0時，f（1）=0，故f（x）有3個零點(diǎn)，故②正確；
③當(dāng)x＜0時，令f（x）=e^x（x+1）＞0，解得-1＜x＜0，
當(dāng)x＞0時，令f（x）=e^-x（x-1）＞0．
解得x＞1，綜上f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞），③正確；
④當(dāng)x＜0時，f′（x）=e^x（x+2），f（x）在x=-2處取最小值為$-\frac{1}{{e}^{2}}$，
當(dāng)x＞0時，f′（x）=e^-x（-x+2），f（x）在x=2處取最大值為$\frac{1}{{e}^{2}}$，
由此可知函數(shù)f（x）在定義域上的最小值為$-\frac{1}{{e}^{2}}$，最大值為$\frac{1}{{e}^{2}}$，而$\frac{1}{{e}^{2}}-（-\frac{1}{{e}^{2}}）$=$\frac{2}{{e}^{2}}$＜2，
∴?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的零點(diǎn)的求法函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，不等式的解法，考查基本知識的綜合應(yīng)用．