12.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=ex(x+1),給出以下命題:
①當(dāng)x>0時,f(x)=ex(1-x);
②f(x)有3個零點(diǎn);
③f(x)>0的解集為(-1,0)∪(1,+∞);
④?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|≤2,
其中正確命題的序號是②③④(填上所有正確命題的序號)

分析 通過函數(shù)的奇偶性的定義求出函數(shù)的解析式,判斷①的正誤;
通過分析出函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)判斷②的正誤;
直接求解不等式的解集判斷③的正誤;
求出函數(shù)的最值判斷④的正誤.

解答 解:①∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴若x>0,則-x<0,故f(-x)=e-x(-x+1)=-f(x),
∴f(x)=e-x(x-1),故①錯;
②∵f(x)定義在R上的奇函數(shù),
∴f(0)=0,又x<0時,f(-1)=0,
x>0時,f(1)=0,故f(x)有3個零點(diǎn),故②正確;
③當(dāng)x<0時,令f(x)=ex(x+1)>0,解得-1<x<0,
當(dāng)x>0時,令f(x)=e-x(x-1)>0.
解得x>1,綜上f(x)>0的解集為(-1,0)∪(1,+∞),③正確;
④當(dāng)x<0時,f′(x)=ex(x+2),f(x)在x=-2處取最小值為$-\frac{1}{{e}^{2}}$,
當(dāng)x>0時,f′(x)=e-x(-x+2),f(x)在x=2處取最大值為$\frac{1}{{e}^{2}}$,
由此可知函數(shù)f(x)在定義域上的最小值為$-\frac{1}{{e}^{2}}$,最大值為$\frac{1}{{e}^{2}}$,而$\frac{1}{{e}^{2}}-(-\frac{1}{{e}^{2}})$=$\frac{2}{{e}^{2}}$<2,
∴?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|≤2,故④正確.
故答案為:②③④.

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷,涉及函數(shù)的解析式的求法,函數(shù)的零點(diǎn)的求法函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值,不等式的解法,考查基本知識的綜合應(yīng)用.

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[0,400)[400,480)[480,550)[550,750)
文科考生6735196
理科考生53xyz
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