Question

16．已知函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sinωxcosωx+2{cos^2}ωx（ω＞0）$，且f（x）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個長度單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，求當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）+1$，利用周期公式即可解得ω的值，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，即可解得f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，由x的范圍，可求$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}sin2ωx+1+cos2ωx$=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）+1$，
∵$T=π⇒\frac{2π}{2ω}=π$，
∴ω=1，…（3分）
從而：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]，k∈Z$．…（6分）
（Ⅱ）∵$g（x）=2sin[2（x-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]+1=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，…（9分）
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴當(dāng)$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{3}$時，g（x）_max=2×1+1=3． …（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．