Question

2．已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD的中點(diǎn)，沿AO將三角形AOD折起，使DB=$\sqrt{3}$，如圖所示，H為AO的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AOD⊥平面ABCO；
（2）求二面角O-DB-H的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面AOD⊥平面ABCO；
（2）建立空間坐標(biāo)系求出平面的法向量即可求二面角O-DB-H的余弦值．

解答 （1）證明：在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD的中點(diǎn)，
則△AOD，△BOC為等腰直角三角形，則∠AOB=90°
∵H為AO的中點(diǎn)．
∴OH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
BH²=BO²+OH²=（$\sqrt{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{5}{2}$，
BH²+DH²=$\frac{5}{2}$+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=3=BD²，
則BH⊥DH，
∵DH⊥OA，DH∩BH=H，
∴DH⊥平面ABCO，
∵DH?平面AOD，
∴平面AOD⊥平面ABCO；
（2）建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，分別為x，y軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：

則O（0，0，0），H（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（0，$\sqrt{2}$，0），
設(shè)平面BHD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{HB}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{HD}$=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=2y}\\{z=0}\end{array}\right.$，令y=1，則x=2，即$\overrightarrow{m}$=（2，1，0），
類似可得平面BOD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即二面角O-DB-H的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．