已知△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且
AB
2=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB

(1)判斷△ABC的形狀,并求sinA+sinB的取值范圍.
(2)如圖,三角形ABC的頂點A、C分別在l1、l2上運動,AC=2,BC=1,若直線l1⊥直線l2 ,且相交于點O,求O,B間距離的取值范圍.
考點:平面向量的綜合題
專題:綜合題,平面向量及應用
分析:(1)利用向量的數(shù)量積公式,結合余弦定理,判斷三角形為直角三角形,再利用輔助角公式,可求sinA+sinB的取值范圍.
(2)不妨設∠AOC=θ,B(x,y),則x=2cosθ+sinθ,y=cosθ,表示出|OB|,利用輔助角公式,即可得出結論.
解答: 解:(1)∵
AB
2
=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB
,
∴c2=c•bcosA+c•acosB+b•acosC,
c2=c•b
c2+b2-a2
2cb
+c•a
c2+a2-b2
2ca
+b•a
a2+b2-c2
2ab
,
∴c2=a2+b2
∴為直角三角形,
∴sinA+sinB═sinA+cosA=
2
sin(A+
π
4
)
,
A∈(0,
π
2
)
,
A+
π
4
∈(
π
4
,
4
)
,
sin(A+
π
4
)∈(
2
2
,1]
,
∴sinA+sinB∈(1,
2
];
(2)簡解:不妨設∠ACO=θ,θ∈[0,
π
2
]
,B(x,y),則x=2cosθ+sinθ,y=cosθ,
|OB|2=x2+y2=2
2
sin(2θ+
π
4
)+3
∈[1,3+2
2
]
,
|OB|∈[1,1+
2
]
點評:本題給出
AB
2=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB
,判斷三角形的形狀,考查輔助角公式的運用,正確運用輔助角公式是解題的關鍵與難點.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一個長方體被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積是( 。
A、1440B、1200
C、960D、720

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f1(x)=sinx+cosx,記f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*,n≥2),則f1
π
2
)+f2
π
2
)+…+f2014
π
2
)的值是( 。
A、-1B、0C、1D、2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(1,2),
b
=(x,1),
u
=
a
+2
b
,
v
=2
a
-
b
,且
u
v
,求x的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=
1
2
,tanβ=-
1
7

(1)計算tanα、tan2α的值
(2)求2α-β的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(
1
2
)=8,求此二次函數(shù)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x+λ2-x(λ∈R).
(1)當λ=-1時,求函數(shù)f(x)的零點;
(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),求實數(shù)λ的值;
(3)若不等式
1
2
≤f(x)≤4在x∈[0,1]上恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對某校高三學生一個月內參加體育活動的次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取M名學生作為樣本,得到這M名學生參加體育活動的次數(shù).根據此數(shù)據做出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
分組頻數(shù)頻率
[10,15)100.25
[15,20)24n
[20,25)mp
[25,30]20.05
合計M1
(Ⅰ)求出表中M,p及圖中a的值;
(Ⅱ)若該校高三學生有240人,試估計該校高三學生在一個月內參加體育活動的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內的人數(shù);
(Ⅲ)在所取的樣本中,從參加體育活動的次數(shù)不少于20次的學生中任取4人,記此4人中參加體育活動不少于25次的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知α,β均為銳角,且sinα=
3
5
,sin(α-β)=-
10
10

(1)求tan(α-β)的值;
(2)求cosβ的值.

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