設(shè)函數(shù)f(x)=msinx+3cosx(x∈R),試分別解答下列兩小題.
( I)若函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)y=n(n為常數(shù))相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=
π
12
,x2=
12
,求函數(shù)y=f(x)的解析式,并寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
( II)當(dāng)m=
3
時(shí),在△ABC中,滿(mǎn)足f(A)=2
3
,且BC=1,若E為BC中點(diǎn),試求AE的最大值.
分析:(I)根據(jù)函數(shù)圖象與y=n相鄰的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值列出關(guān)系式,表示出m,利用和差化積公式化簡(jiǎn)后,再利用特殊角的三角函數(shù)值變形,求出m的值,確定出函數(shù)f(x)的解析式,由f(x)的解析式提取-6,然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的地增區(qū)間,列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集得到x的范圍,即為函數(shù)的遞增區(qū)間;
(II)把m的值代入第一問(wèn)化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式中,根據(jù)f(A)=2
3
,利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算后求出A的度數(shù),構(gòu)造一個(gè)圓,弦BC所對(duì)的圓周角為∠A,點(diǎn)A在弦BC所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng),且不與B與C重合,可得出當(dāng)△ABC為等腰三角形,AB=AC,且AE過(guò)圓心O時(shí),此時(shí)AE最大,由E為BC的中點(diǎn),由∠A的度數(shù),利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍,求出∠BOC的度數(shù),由OB=OC,得出三角形BOC為等邊三角形,根據(jù)三線(xiàn)合一得到AE垂直于BC,在直角三角形OBE中,根據(jù)勾股定理求出OE的長(zhǎng),再由AO+OE即可求出此時(shí)AE的長(zhǎng),即為AE的最大值.
解答:解:(I)根據(jù)題意得:
msin
π
12
+3cos
π
12
=msin
12
+3cos
12
=n,
變形得:m=
3(cos
12
-cos
π
12
sin
π
12
-sin
12
=
-6sin
π
3
sin
π
4
-2cos
π
3
sin
π
4
=3
3
,
∴f(x)=3
3
sinx+3cosx=6sin(x+
π
6
),
∵正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
](k∈Z),
∴令2kπ-
π
2
≤x+
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),
解得:2kπ-
3
≤x≤2kπ+
π
3
(k∈Z),
則函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[2kπ-
3
,2kπ+
π
3
](k∈Z);
(II)把m=
3
代入解析式得:f(x)=
3
sinx+3cosx=2
3
sin(x+
π
3
),
∵f(A)=2
3
,∴2
3
sin(A+
π
3
)=2
3
,即sin(A+
π
3
)=1,
又A為三角形的內(nèi)角,∴A+
π
3
=
π
2
,即A=
π
6
,又BC=1,
假設(shè)∠A為弦BC所對(duì)的圓周角,畫(huà)出相應(yīng)的圖形,如圖所示:

當(dāng)△ABC為等腰三角形,AB=AC,且AE過(guò)圓心O時(shí),此時(shí)AE最大,
∵∠BAC=30°,
∴∠BOC=60°,又OB=OC,且BC=1,
∴△BOC為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,
又E為BC的中點(diǎn),∴BE=CE=
1
2
BC=
1
2
,且OE⊥BC,
在直角三角形BOE中,根據(jù)勾股定理得:OE=
OB2-BE2
=
3
2
,
又OA=OB=1,∴AE=AO+OE=1+
3
2

則AE的最大值為1+
3
2
點(diǎn)評(píng):此題屬于解三角形的題型,涉及的知識(shí)有:和差化積公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,等邊三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理,以及勾股定理,其中構(gòu)造如圖所示的圖形,找出當(dāng)△ABC為等腰三角形,AB=AC,且AE過(guò)圓心O時(shí),此時(shí)AE最大是解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Msin(ωx+φ)(其中M>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè)α∈(
π
6
,  
3
),  β∈(-
6
,-
π
3
),  f(
α
2
)=
3
5
,  f(
β
2
)=-
4
5
,求cos2(α-β)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2013+x,x∈R,若當(dāng)θ∈[0 , 
π2
)
時(shí),f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立,則m的取值范圍是
(-∞,1)
(-∞,1)

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3+x,x∈R.若當(dāng)0<θ<
π
2
時(shí),不等式f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。

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(2013•瀘州一模)已知命題p:夾角為m的單位向量a,b使|a-b|>l,命題q:函數(shù)f(x)=msin(mx)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若?xo∈R,f′(xo)≥
4π25
.設(shè)符合p∧q為真的實(shí)數(shù)m的取值的集合為A.
(I)求集合A;
(Ⅱ)若B={x∈R|x2=πa},且B∩A=∅,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)?>0,m>0,若函數(shù)f(x)=msin
ωx
2
cos
ωx
2
在區(qū)間(-
π
3
π
4
)
上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍是( 。

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