設(shè)f(x)=x3-ax2-bx-c,x∈[-1,1],記y=|f(x)|的最大值為M.
(Ⅰ)當(dāng)a=c=0,b=
3
4
時(shí),求M的值;
(Ⅱ)當(dāng)a,b,c取遍所有實(shí)數(shù)時(shí),求M的最小值.
(以下結(jié)論可供參考:對(duì)于a,b,c,d∈R,有|a+b+c+d|≤|a|+|b|+|c|+|d|,當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c,d同號(hào)時(shí)取等號(hào))
(I)求導(dǎo)可得f′(x)=3x2-
3
4
=3(x-
1
2
)(x+
1
2
)
,
M=max{|f(-1)|,|f(-
1
2
)|,|f(
1
2
)|,|f(1)|}=
1
4
,當(dāng)x=±1,±
1
2
時(shí)取等號(hào).
(II)∵4f(1)-4f(-1)=8-8b,8f(
1
2
)-8f(-
1
2
)=2-8b
,
M≥|f(1)|;M≥|f(-1)|;M≥|f(
1
8
)|;M≥|f(-
1
8
)|

24M≥4|f(1)|+4|f(-1)|+8|f(
1
2
)|+8|f(-
1
2
)|
≥|4f(1)-4f(-1)-8f(
1
2
)+8f(-
1
2
)|=6

因此,M≥
1
4
(-1≤x′≤1).
由(1)可知,當(dāng)a=0,b=
3
4
,c=0時(shí),M=
1
4
.∴f(x)min=
1
4
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a>0,函數(shù)f(x)=x3-a,x∈[0,+∞),設(shè)x1>0,記曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x1,f(x1))處的切線l.
(1)求l的方程;
(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)是(x2,0),證明x2a
13

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函數(shù),且f(-
1
2
)•f(
1
2
)<0,則方程f(x)=0在[-1,1]內(nèi)(  )
A、可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根
B、可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根
C、有唯一的實(shí)數(shù)根
D、沒有實(shí)數(shù)根

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=x3(x∈R),若0≤θ<
π
2
時(shí),f(m•sinθ)+f(2-m)>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=x3+ax2+bx+c,又k是一個(gè)常數(shù),已知當(dāng)k<0或k>4時(shí),f(x)-k=0只有一個(gè)實(shí)根,當(dāng)0<k<4時(shí),f(x)-k=0有三個(gè)相異實(shí)根,現(xiàn)給出下列命題:
(1)f(x)-4=0和f′(x)=0有且只有一個(gè)相同的實(shí)根.
(2)f(x)=0和f′(x)=0有且只有一個(gè)相同的實(shí)根.
(3)f(x)+3=0的任一實(shí)根大于f(x)-1=0的任一實(shí)根.
(4)f(x)+5=0的任一實(shí)根小于f(x)-2=0的任一實(shí)根.
其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=x3-
x22
-2x+a,
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值與最小值的和為5,求實(shí)數(shù)a的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案