Question

4．在三棱錐A-BCD中，AB=$\sqrt{6}$，其余各棱長都為2，則該三棱錐外接球的表面積為（　�。�

• A． 3π
• B． $\frac{16}{3}$π
• C． 6π
• D． $\frac{20}{3}$π

Answer 1

分析 由題意畫出幾何體的圖形，推出四面體的外接球的球心的位置，求出球的半徑，即可求出三棱錐外接球的表面積．

解答 解：取 A B，CD的中點(diǎn)分別為 E，O，
連接 EO，AO，BO，由題意知AO=BO=$\sqrt{3}$．
又${A}{B}=\sqrt{6}$，所以 AO⊥BO，EO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
易知三棱錐外接球的球心G在線段EO上，
有R²=AE²+GE²，R²=CO²+GO²，
∴R²=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+GE²，R²=1²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-GE）²，
求得${R^2}=\frac{5}{3}$，
所以其表面積為$\frac{20}{3}π$．
故選：D．

點(diǎn)評 考查四棱錐的外接球的半徑的求法，考查空間想象能力，能夠判斷球心的位置是本題解答的關(guān)鍵，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．