Question

已知二次函數(shù)f(x)=ax²+bx，且f(x+1)為偶函數(shù)，定義：滿足f(x)=x的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，若函數(shù)f(x)有且僅有一個不動點(diǎn)，

(1)求f(x)的解析式；

(2) 若函數(shù)g(x)= f(x)++x²在 (0，]上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，是否存在區(qū)間[m，n](m<n)，使得f(x)在區(qū)間[m，n]上的值域為[km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）f(x)= -x²+x；（2）k；（3）同解析。

解析:

 (1)f(x+1) =a(x+1) ²+b(x+1) = ax ²+(2a+b)x+a+b為偶函數(shù)，

∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f(x)=ax²-2ax，′

∵函數(shù)f(x)有且僅有一個不動點(diǎn)，∴方程f(x)=x有且僅有一個解，

∴ax²-(2a+1)x=0有且僅有一個解，∴2a+1=0，a=-，∴f(x)= -x²+x

(2) g(x)= f(x)++x²=x+在 (0，]上是單調(diào)增函數(shù)，

當(dāng)k0時，g(x)= x+在(0，+)上是單調(diào)增函數(shù)，∴不成立；′

當(dāng)k>0時，g(x)= x+在(0，]上是單調(diào)減函數(shù)，∴，∴k

（3）∵f(x)= -x²+x= -(x-1)²+，∴kn，∴n<1，

∴f(x)在區(qū)間[m，n]上是單調(diào)增函數(shù)

∴，即，方程的兩根為0，2-2k′

當(dāng)2-2k>0，即k<1時，[m，n]= [0，2-2k]

當(dāng)2-2k<0，即k>1時，[m，n]= [2-2k，0]′

當(dāng)2-2k=0，即k=1時，[m，n] 不存在′