【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)

（1）證明：；

（2）若為棱上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，求銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）

【解析】

（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明；
（2）設(shè)，由，求出，求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.

證明：（1）∵在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，

AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），
，，
，

∴；
（2）∵F為棱PC上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，
∴設(shè)，，
則，
　，
∵，，

解得，
，
設(shè)平面ABF的法向量，
則，取，得，
平面ABP的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
∴二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且橢圓的離心率為，過(guò)作軸的垂線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且直線的斜率分別與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率相同，動(dòng)點(diǎn)不與重合，求的面積．

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（1）當(dāng)時(shí)，求比值取最小值時(shí)的值；

（2）經(jīng)過(guò)調(diào)查，環(huán)保部門(mén)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)比值不超過(guò)時(shí)不需要進(jìn)行環(huán)境防護(hù)．為確保恰好3年不需要進(jìn)行保護(hù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（為自然對(duì)數(shù)的底， ）

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（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；

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不小于40歲

小于40歲

合計(jì)

單車(chē)用戶(hù)

12

y

m

非單車(chē)用戶(hù)

x

32

70

合計(jì)

n

50

100

（1）求出列聯(lián)表中字母x、y、m、n的值；

（2）①?gòu)拇藰颖局�，�?duì)單車(chē)用戶(hù)按年齡采取分層抽樣的方法抽出5人進(jìn)行深入調(diào)研，其中不小于40歲的人應(yīng)抽多少人？

②從獨(dú)立性檢驗(yàn)角度分析，能否有以上的把握認(rèn)為該市成人市民是否為單車(chē)用戶(hù)與年齡是否小于40歲有關(guān).

下面臨界值表供參考：

P（）

0.15

0.10

0.05

0.25

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6635

7.879

10.828

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