Question

13．設(shè)△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，給出如下四個(gè)命題：
（1）若a，b，c成等差數(shù)列，則B≤$\frac{π}{3}$；
（2）若B＞$\frac{π}{2}$，則log_sinBsinA＜log_sinBcosC
（3）若b²=ac，則a²+c²-b²≥ac
（4）若sinA-sinB≤0，則A≤B
其中真命題的序號是（1）（3）（4）（要求填上所有真命題的序號）

Answer 1

分析 （1）由a，b，c成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，解出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把b的式子代入后，合并化簡，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根據(jù)B的范圍以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，再利用特殊角三角函數(shù)值即可求出B的取值范圍，即可判斷；
（2）利用三角形的內(nèi)角的大小，以及三角函數(shù)值的大小，結(jié)合對數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷；
（3）利用a²+c²≥2ac及已知即可證明結(jié)論；
（4）由sinA-sinB≤0，利用正弦定理可得a≤b，結(jié)合大邊對大角即可得解．

解答 解：（1）由a，b，c成等差數(shù)列，得到2b=a+c，即b=$\frac{a+c}{2}$，
則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}$≥$\frac{6ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$，
因?yàn)锽∈（0，π），且余弦函數(shù)在（0，π）上為減函數(shù)，
所以角B的范圍是：0＜B≤$\frac{π}{3}$．故為真命題．
（2）若B＞$\frac{π}{2}$，則0＜sinB＜1，A，C為銳角，無法比較sinA，cosC的大小，故結(jié)論不一定正確．故為假命題．
（3）因?yàn)椋篴²+c²≥2ac，即a²+c²-ac≥ac，
當(dāng)b²=ac時(shí)，a²+c²-b²≥ac，顯然成立，故為真命題．
（4）由sinA-sinB≤0，即：sinA≤sinB，
由正弦定理，sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{2R}$，
可得：$\frac{a}{2R}$≤$\frac{2R}$，即a≤b，則A≤B，故為真命題．
故答案為：（1）（3）（4）．

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用余弦定理化簡求值，會利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道綜合題．