Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有不等式（x-1）（e^-x-x）+2lnx＜$\frac{2}{3}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)解不等式可得函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論可得知$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x-2lnx≥\frac{3}{2}$，變形可得不等式左邊≤（x-1）e^-x+2x-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$，構(gòu)造函數(shù)F（x）=（x-1）e^-x+2x-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$，導(dǎo)數(shù)法判單調(diào)性求最值可證不等式．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx，x＞0，
∴$f'（x）=x+1-\frac{2}{x}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x}=\frac{（x-1）（x+2）}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）在單調(diào)遞減，在（1，+∞）在單調(diào)遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x-2lnx≥\frac{3}{2}$，∴$2lnx≤\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}$，
故$（x-1）（{e^{-x}}-x）+2lnx≤（x-1）（{e^{-x}}-x）+\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}=（x-1）{e^{-x}}+2x-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$，
記$F（x）=（x-1）{e^{-x}}+2x-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$=$\frac{x-1}{e^x}+2x-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}（x＞0）$
則$F'（x）=\frac{{1-（x-1）{e^x}}}{e^x}+2-x=\frac{{（2-x）（1+{e^x}）}}{e^x}$，
當(dāng)0＜x＜2時，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x＞2時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）在（0，2）在單調(diào)遞增，在（2，+∞）在單調(diào)遞減，
∴$F{（x）_{max}}=F（2）={e^{-2}}+\frac{1}{2}＜\frac{2}{3}$，∴$（x-1）（{e^{-x}}-x）+2lnx＜\frac{2}{3}$，
故原命題得證．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的最值和證明不等式，合理構(gòu)造函數(shù)來證明不等式是解決問題的關(guān)鍵，屬難題．