Question

13．已知定義在R上的函數f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），且f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）+f（2009）=（　�。�

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 根據條件求出函數的周期，利用函數的周期性將條件進行轉化求解即可．

解答 解：由f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），得f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
則f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=-[f（x）]=f（x），
則函數f（x）是周期為3的周期函數，
∵f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，
∴f（-2+3）=f（-1+3）=-1，
即f（1）=f（2）=-1，f（3）=2，
則f（1）+f（2）+f（3）=-1-1+2=0，
則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）+f（2009）=669×[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2008）+f（2009）
=f（2008）+f（2009）=f（1）+f（2）=-1-1=-2，
故選：A

點評 本題主要考查函數值的計算，根據條件求出函數的周期，利用函數的周期性進行轉化是解決本題的關鍵．