如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的長軸長為4,點(diǎn)A,B,C為橢圓上的三個(gè)點(diǎn),A為橢圓的右端點(diǎn),BC過中心O,且|BC|=2|AB|,S△ABC=3.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)P,Q是橢圓上位于直線AC同側(cè)的兩個(gè)動點(diǎn)(異于A,C),且滿足∠PBC=∠QBA,試討論直線BP與直線BQ斜率之間的關(guān)系,并求證直線PQ的斜率為定值.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(Ⅰ)先求出B的坐標(biāo),代入橢圓方程,求出b,即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線BP:y-
3
2
=k(x-1)
代入橢圓方程
x2
4
+
y2
3
=1
,求出P的坐標(biāo),用-k代入得xQ=
4k2+12k-3
3+4k2
,yQ=
-12k2+6k
3+4k2
+
3
2
,利用斜率公式,即可求證直線PQ的斜率為定值.
解答: 解:(Ⅰ)∵|BC|=2|AB|,   ∴S△OAB=
1
2
S△ABC=
3
2
…2 分
又△OAB是等腰三角形,所以B(1, 
3
2
)
…3 分
把B點(diǎn)帶入橢圓方程
x2
4
+
y2
b2
=1
,求得b2=3.…4 分
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
…5 分
(Ⅱ)由題易得直線BP、BQ斜率均存在,
又∠PBC=∠QBA,所以kBP=-kBQ…7 分
設(shè)直線BP:y-
3
2
=k(x-1)
代入橢圓方程
x2
4
+
y2
3
=1
,
化簡得(3+4k2)x2-8k(k-
3
2
)x+4k2-12k-3=0
…9 分
其一解為1,另一解為xP=
4k2-12k-3
3+4k2
…10 分
可求yp=
-12k2-6k
3+4k2
+
3
2
…11 分
用-k代入得xQ=
4k2+12k-3
3+4k2
,yQ=
-12k2+6k
3+4k2
+
3
2
…12 分
kPQ=
yP-yQ
xP-xQ
=
1
2
為定值.…13 分
點(diǎn)評:本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查斜率的計(jì)算,正確求出P,Q的坐標(biāo)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖的程序圖中,輸出結(jié)果是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:x2=4y.
(1)若點(diǎn)P是直線y=2x-5上任意一點(diǎn),過P作C的兩條切線PE,PF,切點(diǎn)分別為E,F(xiàn),M為EF的中點(diǎn),求證:PM⊥x軸
(2)在(1)的條件下,直線EF是否恒過一定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn);若不是,說明理由.

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