如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長為4，點A，B，C為橢圓上的三個點，A為橢圓的右端點，BC過中心O，且|BC|=2|AB|，S△ABC=3．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設P，Q是橢圓上位于直線AC同側的兩個動點（異于A，C），且滿足∠PBC=∠QBA，試討論直線BP與直線BQ斜率之間的關系，并求證直線PQ的斜率為定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（Ⅰ）先求出B的坐標，代入橢圓方程，求出b，即可求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設直線BP：y-
3
2
=k(x-1)代入橢圓方程
x2
4
+
y2
3
=1，求出P的坐標，用-k代入得xQ=
4k2+12k-3
3+4k2
，yQ=
-12k2+6k
3+4k2
+
3
2
，利用斜率公式，即可求證直線PQ的斜率為定值．
解答： 解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AB|，   ∴S△OAB=
1
2
S△ABC=
3
2
…2 分
又△OAB是等腰三角形，所以B(1， 
3
2
)…3 分
把B點帶入橢圓方程
x2
4
+
y2
b2
=1，求得b2=3．…4 分
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1…5 分
（Ⅱ）由題易得直線BP、BQ斜率均存在，
又∠PBC=∠QBA，所以kBP=-kBQ…7 分
設直線BP：y-
3
2
=k(x-1)代入橢圓方程
x2
4
+
y2
3
=1，
化簡得(3+4k2)x2-8k(k-
3
2
)x+4k2-12k-3=0…9 分
其一解為1，另一解為xP=
4k2-12k-3
3+4k2
…10 分
可求yp=
-12k2-6k
3+4k2
+
3
2
…11 分
用-k代入得xQ=
4k2+12k-3
3+4k2
，yQ=
-12k2+6k
3+4k2
+
3
2
…12 分
∴kPQ=
yP-yQ
xP-xQ
=
1
2
為定值．…13 分
點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查斜率的計算，正確求出P，Q的坐標是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖的程序圖中，輸出結果是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l的參數(shù)方程是
x=t
y=t+1
（t是參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，圓C的極坐標方程為ρ=-6cosθ，則圓心C到直線l的距離為（　�。�
A、2
B、
2
C、2
2
D、3
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2為橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2的公共點左右焦點，它們在第一象限內交于點M，△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，且|MF1|=2．若橢圓C1的離心率e=
3
8
，則雙曲線C2的離心率是（　�。�
A、
5
4
B、
3
2
C、
5
3
D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知點A（1，
2
）是離心率為
2
2
的橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）上的一點，斜率為
2
的直線BD交橢圓C于B，D兩點，且A、B、D三點互不重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：直線AB，AD的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．
（1）若
a
⊥
b
，求| 
a
+
3
b
 |的值；
（2）設向量
c
=(0，
3
)，且
a
+
b
=
c
，求α，β的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C：x2=4y．
（1）若點P是直線y=2x-5上任意一點，過P作C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，M為EF的中點，求證：PM⊥x軸
（2）在（1）的條件下，直線EF是否恒過一定點？若是，求出定點；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos2x-sin2x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=
2
，且f（
A
2
）=1，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S7=49，a4和a8的等差中項為11．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）證明：當n≥2時，有
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
7
4
．

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