Question

已知圓O的半徑為2，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點(diǎn)，設(shè)∠APO=α．那么2S_△PAB•cot2α的最小值為（　�。�

• A．-16+4

  2

• B．-12+4

  2

• C．-16+8

  2

• D．-12+8

  2

Answer 1

分析：由題意畫出圖形，求出PA，PO，A到PO的距離為AC，PC，求出S_△PAB．得到2S_△PAB•cot2α，化簡利用基本不等式求出最小值．

解答：解：由題意PA=

2

tanα

，PO=

2

sinα

A到PO的距離為AC=2cosα，PC=

2

tanα

•cosα
所以S_△PAB=2×

1

2

PC•AC=

2

tanα

•2cosα•cosα．
2S_△PAB•cot2α=

4

tanα

•2cosα•cosα•cot2α
=

4cos2α•(1-2sin2α)

sin2α

=

4(1-sin2α)(1-2sin2α)

sin2α

=

4

sin2α

-12+8sin2α≥-12+8

2

，當(dāng)且僅當(dāng)sin4α=

1

2

時，取等號．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積的求法，三角函數(shù)的化簡以及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．