Question

8．現(xiàn)有編號依次為：1，2，3，…，n的n級臺階，小明從臺階1出發(fā)順次攀登，他攀登的步數(shù)通過拋擲骰子來決定；骰子的點數(shù)小于5時，小明向前一級臺階；骰子的點數(shù)大于等于5時，小明向前兩級臺階．
（1）若拋擲骰子兩次，小明到達的臺階編號記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
（2）求小明恰好到達編號為6的臺階的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知可得隨機變量ξ的值可能為3，4，5，進而可由古典概型概念公式，求出隨機變量ξ的分布列，代入數(shù)學期望公式，可得數(shù)學期望
（2）小王恰好到達6有三種情形，分別求出相對應的概率，根據(jù)概率公式計算即可．

解答 解：（1）ξ的可能取值為3，4，5…（1分）$P（ξ=3）=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$P（ξ=4）=C_2^1\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，$P（ξ=5）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$…（4分）
ξ的分布列為

ξ	3	4	5
p	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

$Eξ=3×\frac{4}{9}+4×\frac{4}{9}+5×\frac{1}{9}=\frac{11}{3}$…（7分）
（2）小王恰好到達6有三種情形
①拋擲骰子五次，出現(xiàn)點數(shù)全部小于5，概率${P_1}={（{\frac{2}{3}}）^5}=\frac{32}{243}$；        …（8分）
②拋擲骰子四次，出現(xiàn)點數(shù)三次小于5，一次大于等于5，概率為${P_2}=C_4^1{（{\frac{2}{3}}）^3}\frac{1}{3}=\frac{32}{81}$；…（9分）
③拋擲骰子三次，出現(xiàn)點數(shù)一次小于5，兩次大于等于5，概率${P_3}=C_3^2{（{\frac{1}{3}}）^2}\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$…（10分）
所以$P=\frac{32}{243}+\frac{32}{81}+\frac{2}{9}=\frac{182}{243}$
即小王恰好到達正整數(shù)6的概率為$\frac{182}{243}$．                            …（12分）

點評 本題考查的知識點是離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，等可能事件的概率，是概率問題的綜合應用，難度不大，屬于基礎題．