已知橢圓的右焦點(diǎn)為 ,為橢圓的上頂點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且兩焦點(diǎn)和短軸的兩端構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在直線交與橢圓于, ,且使,使得的垂心,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

(1) ;(2).

解析試題分析:(1)利用正方形的性質(zhì),橢圓的性質(zhì);(2)由直線的方程于橢圓的方程組成方程組,消去,由綜合求得.
試題解析:(1)由兩焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形,則,,
所以橢圓方程為.            (4分)
(2)假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn),且使的垂心,設(shè)
,,則,故直線的斜率,∴設(shè)直線的方程為,
,由題意知,即,      (7分)
,,由題意應(yīng)有,
,,
,                    (9分)
,
解得,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),不存在,故舍去,
∴當(dāng)時(shí),所求直線方程為滿足題意,
綜上所述,存在直線,且直線的方程為,             (14分)
考點(diǎn):橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若斜率為k的直線過點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,A,C關(guān)于軸對(duì)稱,BD平行于拋物線在點(diǎn)C處的切線。
(Ⅰ)證明:AC平分
(Ⅱ)若點(diǎn)A坐標(biāo)為,四邊形ABCD的面積為4,求直線BD的方程。

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已知橢圓的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn),直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線垂直于點(diǎn),
線段垂直平分線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅲ)設(shè)軸交于點(diǎn),不同的兩點(diǎn)上,且滿足,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,橢圓的左頂點(diǎn)為,是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(Ⅰ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值;
(Ⅱ)若橢圓上存在點(diǎn),使得,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn),且離心率,點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 若是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn),滿足向量共線,
線,且,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知定圓的圓心為,動(dòng)圓過點(diǎn),且和圓相切,動(dòng)圓的圓心的軌跡記為
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn),試探究直線:與曲線是否存在交點(diǎn)? 若存在,求出交點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

若橢圓C:的離心率e為, 且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=-12x的焦點(diǎn)重合.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 設(shè)點(diǎn)M(2,0), 點(diǎn)Q是橢圓上一點(diǎn), 當(dāng)|MQ|最小時(shí), 試求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3) 設(shè)P(m,0)為橢圓C長(zhǎng)軸(含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 過P點(diǎn)斜率為k的直線l交橢圓與
A,B兩點(diǎn), 若|PA|2+|PB|2的值僅依賴于k而與m無(wú)關(guān), 求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn),求其方程。

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同步練習(xí)冊(cè)答案