Question

7．如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積（m²）與時(shí)間t（月）的關(guān)系：f（t）=a^t，有以下敘述：
①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2；
②浮萍每個(gè)月增長(zhǎng)的面積都相等；
③浮萍從4m²蔓延到12m²需要經(jīng)過(guò)1.5個(gè)月；
④對(duì)浮萍蔓延到的任意兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)t₁，t₂，都有$\frac{{f（{t_1}）-f（{t_2}）}}{{{t_1}-{t_2}}}＞0$成立；
⑤若浮萍蔓延到2m²、3m²、6m²所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為t₁、t₂、t₃，則t₁+t₂=t₃．
其中正確的是（

• A． ①③④
• B． ①③④⑤
• C． ①④⑤
• D． ②③⑤

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖形確定函數(shù)的解析式，結(jié)合所給月份計(jì)算函數(shù)值從而獲得相應(yīng)浮萍的面積進(jìn)而對(duì)問(wèn)題作出判斷，對(duì)于⑤要充分結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證．

解答 解：對(duì)于①，根據(jù)函數(shù)的圖象知，點(diǎn)（1，2）在函數(shù)圖象上，
∴2=a¹，∴a=2，函數(shù)為f（x）=2^x，底數(shù)是2，①正確；
對(duì)于②，根據(jù)函數(shù)f（t）=2^t的圖象知，1-2月增加_²m²，2-3月增加4m²，每個(gè)月增長(zhǎng)的面積不相等，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，4對(duì)應(yīng)的t=2，經(jīng)過(guò)1.5月后面積是2^3.5=$\sqrt{{2}^{7}}$=$\sqrt{128}$＜12，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，函數(shù)y=f（t）=2^t在R上是增函數(shù)，∴y′=f′（x）＞0，∴對(duì)任意t₁，t₂，都有$\frac{{f（{t_1}）-f（{t_2}）}}{{{t_1}-{t_2}}}＞0$成立，故④正確；
對(duì)于⑤，令2=${2}^{{x}_{1}}$，3=${2}^{{x}_{2}}$，6=${2}^{{x}_{3}}$，
解得x₁=1，x₂=log₂³，x₃=log₂⁶，
又∵1+log₂³=log₂²+log₂³=log₂^2×3=log₂⁶，
∴x₁+x₂=x₃成立，⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)充分觀察圖形、分析圖形和利用圖形，也應(yīng)靈活應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，是綜合性題目．