Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，則a∈（0，+∞）時，實數(shù)b的最大值是（　�。�

• A、

  13

  6

  e6
• B、

  1

  6

  e6
• C、

  7

  2

  e

  2

  3

• D、

  3

  2

  e

  2

  3

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：分別求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，函數(shù)g（x）的導數(shù)．由于兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，
設為P（x₀，y₀），則有f（x₀）=g（x₀），且f′（x₀）=g′（x₀），解出x₀=a，得到b關于a的函數(shù)，構造函數(shù)h(t)=

5

2

t2-3t2lnt (t＞0)，運用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到b的最大值．

解答： 解：函數(shù)f（x）的導數(shù)為f'（x）=x+2a，
函數(shù)g（x）的導數(shù)為g′(x)=

3a2

x

，
由于兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，設為P（x₀，y₀），
則

f(x0)=g(x0)? 1 2 x 2 0 +2ax0=3a2lnx0+b f′(x0)=g′(x0)?x0+2a= 3a2 x0 ?x0=a或x0=-3a

，
由于x₀＞0，a＞0
則x₀=a，因此b=

1

2

x

2 0

+2ax0-3a2lnx0=

5

2

a2-3a2lna (a＞0)
構造函數(shù)h(t)=

5

2

t2-3t2lnt (t＞0)，
由h'（t）=2t（1-3lnt），
當0＜t＜e

1

3

時，h'（t）＞0即h（t）單調(diào)遞增；當t＞e

1

3

時，h'（t）＜0即h（t）單調(diào)遞減，
則h(t)max=h(e

1

3

)=

3

2

e

2

3

即為實數(shù)b的最大值．
故選D．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，考查分離參數(shù)法和構造函數(shù)，運用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查運算能力，屬于中檔題．