已知函數(shù)f（x）=x2，對(duì)任意實(shí)數(shù)t，gt（x）=-tx+1．
（1）求函數(shù)y=g3（x）-f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）h(x)=
x
f(x)
-gt(x)在（0，2]上是單調(diào)遞減的，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若f（x）＜mg2（x）對(duì)任意x∈(0，
1
3
]恒成立，求正數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）利用配方法求函數(shù)y=g3（x）-f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由已知得，h(x)=
x
f(x)
-gt(x)=
1
x
+tx-1，利用單調(diào)性的定義，可知要使h（x）在（0，2]上是單調(diào)遞減的，必須h（x1）-h（x2）＞0恒成立，從而只需1-tx1x2＞0恒成立，即t＜
1
x1x2
恒成立，故可求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）解法一：由f（x）＜mg2（x），得x2＜m（-2x+1），分離參數(shù)可得
1
m
＜
1
x2
-
2
x
，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為
1
m
＜(
1
x2
-
2
x
)min，x∈(0，
1
3
]，利用配方法可求函數(shù)y=
1
x2
-
2
x
的最小值3，故可求正數(shù)m的取值范圍；
解法二：由f（x）＜mg2（x），得x2+2mx-m＜0．構(gòu)造f（x）=x2+2mx-m，則f（x）＜0對(duì)任意x∈(0，
1
3
]恒成立，只需
f(0)≤0
f(
1
3
)＜0
，即
-m≤0
1
9
+
2
3
m-m＜0
，從而可求正數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）y=g3（x）-f（x）=-x2-3x+1=-(x+
3
2
)2+
13
4
…（1分）
所以函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-
3
2
]，單調(diào)遞減區(qū)間是[-
3
2
，+∞)．…（3分）
（2）由已知得，h(x)=
x
f(x)
-gt(x)=
1
x
+tx-1，…（4分）
設(shè)0＜x1＜x2≤2，
則h(x1)-h(x2)=(
1
x1
+tx1-1)-(
1
x2
+tx2-1)=
(x2-x1)(1-tx1x2)
x1x2
…（6分）
要使h（x）在（0，2]上是單調(diào)遞減的，必須h（x1）-h（x2）＞0恒成立．   …（7分）
因?yàn)閤2-x1＞0，0＜x1x2＜4，
所以1-tx1x2＞0恒成立，即t＜
1
x1x2
恒成立，…（8分）[
因?yàn)?span id="4tmpzli" class="MathJye">
1
x1x2
＞
1
4
，所以t≤
1
4
，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞，
1
4
]．…（9分）
（3）解法一：由f（x）＜mg2（x），得x2＜m（-2x+1），①…（10分）
因?yàn)閙＞0且x∈(0，
1
3
]，所以①式可化為
1
m
＜
1
x2
-
2
x
，②…（11分）
要使②式對(duì)任意x∈(0，
1
3
]恒成立，只需
1
m
＜(
1
x2
-
2
x
)min，x∈(0，
1
3
]（12分）
因?yàn)?span id="gbfuckc" class="MathJye">
1
x2
-
2
x
=(
1
x
-1)2-1，所以當(dāng)x=
1
3
時(shí)，函數(shù)y=
1
x2
-
2
x
取得最小值3，…（12分）
所以
1
m
＜3，又m＞0，所以m＞
1
3
，
故正數(shù)m的取值范圍是(
1
3
，+∞)．…（13分）
解法二：由f（x）＜mg2（x），得x2+2mx-m＜0，…（10分）
令f（x）=x2+2mx-m，則f（x）＜0對(duì)任意x∈(0，
1
3
]恒成立，…（11分）
只需
f(0)≤0
f(
1
3
)＜0
，即
-m≤0
1
9
+
2
3
m-m＜0
，解得m＞
1
3
，…（12分）
故正數(shù)m的取值范圍是(
1
3
，+∞)．                             …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是求參數(shù)的范圍問(wèn)題，考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是利用分離參數(shù)法，進(jìn)而求函數(shù)的最值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對(duì)一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對(duì)一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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