Question

已知四數(shù)a₁，a₂，a₃，a₄依次成等比數(shù)列，且公比q不為1．將此數(shù)列刪去一個數(shù)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等差數(shù)列，則正數(shù)q的取值集合是

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：因為公比q不為1，所以不能刪去a₁，a₄．設(shè){a_n}的公差為d，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：因為公比q不為1，所以不能刪去a₁，a₄．設(shè){a_n}的公差為d，則
①若刪去a₂，則由2a₃=a₁+a₄得2a₁q²=a₁+a₁q³，即2q²=1+q³，
整理得q²（q-1）=（q-1）（q+1）．
又q≠1，則可得 q²=q+1，又q＞0解得q=

1+ 5

2

；
②若刪去a₃，則由2a₂=a₁+a₄得2a₁q=a₁+a₁q³，即2q=1+q³，整理得q（q-1）（q+1）=q-1．
又q≠1，則可得q（q+1）=1，又q＞0解得 q=

-1+ 5

2

．
綜上所述，q=

±1+ 5

2

．
故答案為：{

-1+ 5

2

，

1+ 5

2

}．

點評：本題主要考查等差數(shù)列等差中項的概念及等比數(shù)列中基本量的運算．