已知向量
.
a
=（cos
3θ
2
，sin
3θ
2
），
.
b
=（cos
θ
2
，-sin
θ
2
），θ∈[0，
π
3
]，
（I）求
.
a
.
.
b
|
.
a
+
.
b
|
的最大值和最小值；
（II）若|k
.
a
+
.
b
|=
3
|
.
a
-k
.
b
|（k∈R），求k的取值范圍．
（1）∵
.
a
=（cos
3θ
2
，sin
3θ
2
），
.
b
=（cos
θ
2
，-sin
θ
2
），
∴
a
•
b
=cos
3θ
2
cos
θ
2
-sin
3θ
2
sin
θ
2
=cos2θ
∵|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=2+2cos2θ=4cos2θ
∴|
a
+ 
b
|=2cosθ，θ∈[0，
π
3
]
∴
a
•
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ

令t=cosθ，則t∈[
1
2
，1]，y=
a
•
b
|
a
+
b
|
=
2t2-1
2t
=t-
1
2t
，t∈[
1
2
，1]
則y′=1+
1
2t2
＞0
∴y=t-
1
2t
在[
1
2
，1]上單調(diào)遞增
∴ymax=
1
2
，ymin=-
1
2

（2）由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|可得(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2
即k2
a
2+
b
2+2k
a
•
b
=3(
a
2-2k
a
•
b
+k2
b
2)
又∵|
a
|=|
b
|=1
∴k2+1+2k
a
•
b
=3(1+k2-2k
a
•
b
)
∴
a
•
b
=
1+k2
4k

由
a
•
b
=cos2θ，θ∈[0，
π
3
]可得，-
1
2
≤
a
•
b
≤1
∴-
1
2
≤
1+k2
4k
≤1
∴
1+k2
4k
+
1
2
≥ 0
1+k2
4k
-1≤0

∴
(k+1)2
4k
≥0
k2-4k+1
4k
≤0

解可得，
k=-1或k＞0
k＜0或2-
3
≤k≤2+
3

∴k=-1或2-
3
≤k≤2+
3

綜上可得，k得取值范圍為{k|k=-1或2-
3
≤k≤2+
3
}
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中，正確的個數(shù)為（　�。�
（1）
AB
+
MB
+
BC
+
OM
+
CO
=
AB

（2）已知向量
a
=（6，2）與
b
=（-3，k）的夾角是鈍角，則k的取值范圍是k＜0
（3）若向量
e1
=(2，-3)，
e2
=(
1
2
，-
3
4
)能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
（4）若
a
∥
b
，則
a
在
b
上的投影為|
a
|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個動點(diǎn)，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列各式：
①
AB
+
BC
+
CA
；            
②
AB
+
MB
+
BO
+
OM

③
AB
-
AC
+
BD
-
CD

④
OA
+
OC
+
BO
+
CO

其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量
m
=（2a-c，b）與向量
n
=（cosB，-cosC）互相垂直．
（1）求角B的大��；
（2）求函數(shù)y=2sin2C+cos（B-2C）的值域；
（3）若AB邊上的中線CO=2，動點(diǎn)P滿足
AP
=sin2θ•
AO
+cos2θ•
AC
(θ∈R)，求(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列說法中，正確的個數(shù)為（　�。�
（1）
AB
+
MB
+
BC
+
OM
+
CO
=
AB

（2）已知向量
a
=（6，2）與
b
=（-3，k）的夾角是鈍角，則k的取值范圍是k＜0
（3）若向量
e1
=(2，-3)，
e2
=(
1
2
，-
3
4
)能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
（4）若
a
∥
b
，則
a
在
b
上的投影為|
a
|．
A．1個B．2個C．3個D．4個

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