Question

已知雙曲線的一條漸進線的傾斜角屬于[

π

6

，

π

4

]，則離心率取值范圍

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)直線的傾斜角建立①tan

π

6

≤

b

a

≤tan

π

4

，②tan

π

6

≤

a

b

≤tan

π

4

進一步對關(guān)系式進行恒等變換，求出

4

3

≤

a2+b2

a2

≤2，和2≤

a2+b2

a2

≤4，進一步確定

2 3

3

≤e≤

2

和

2

≤e≤2，另雙曲線的離心率大于1，所以進一步求出結(jié)果．

解答： 解：①當焦點在x軸上時，已知雙曲線的一條漸進線的傾斜角屬于[

π

6

，

π

4

]，
則：tan

π

6

≤

b

a

≤tan

π

4

即：

3

3

≤

b

a

≤1

1

3

≤

b2

a2

≤1

4

3

≤

a2+b2

a2

≤2
則：

2 3

3

≤e≤

2

另：雙曲線的離心率：e＞1
則離心率的范圍為：（1，

2

]
②當焦點在y軸上時，
解得：

3

3

≤

a

b

≤1
最后求得：

2

≤e≤2
則離心率的范圍為：[

2

，2]
所以綜合上述結(jié)果離心率的范圍為：（1，

2

]或[

2

，2]
故答案為：（1，

2

]或[

2

，2]

點評：本題考查的知識要點：直線的斜率和漸近線的關(guān)系，離心率的應用．屬于基礎(chǔ)題型．