Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，其前n項(xiàng)和S_n滿足：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，…）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）記{a_n}的公比為f（t），作數(shù)列{b_n}，使b₁=1，，求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

解：（Ⅰ）由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，∴
又3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n=3，4，）兩式相減，
得：3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
∴（n=3，4，）
綜上，數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列
（Ⅱ）由，得，
所以{b_n}是首項(xiàng)為1，，公差為的等差數(shù)列，b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=（b₁-b₃）b₂+（b₃-b₅）b₄+…+（b_2n-1-b_2n+1）b_2n==
分析：（Ⅰ）由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，，又3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n=3，4，）兩式相減，得：3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，由此能夠證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
（Ⅱ）由，得，所以，由此能求出（b₁-b₃）b₂+（b₃-b₅）b₄+…+（b_2n-1-b_2n+1）b_2n之和．
點(diǎn)評(píng)：第（Ⅰ）題考查等比數(shù)列的證明方法，證明過(guò)程中要注意迭代法的合理運(yùn)用；第（Ⅱ）題考查數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．