Question

已知△ABC的三邊長分別為AB=8，BC=7，AC=3，以點A為圓心，r=2為半徑作一個圓，設PQ為⊙A的任意一條直徑，記T=

BP

•

CQ

，求T的最大值和最小值，并證明當T取最大值和最小值時，PQ的位置特征是什么．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，由AB=8，BC=7，AC=3，以點A為圓心，r=2為半徑作一個圓，設PQ為圓A的任意一條直徑，我們易得T=8+

AP

•

CB

，又由|

AP

|=2，|

BC

|=7，我們可得當

AP

與

CB

同向時，T取最大值．當

AP

與

CB

反向時，T取最小值．

解答：解：T=

BP

•

CQ

AP

•

CB

=(

BA

+

AP

)•(

CA

+

AQ

)
=(

BA

+

AP

)•(

CA

-

AP

)
=

BA

•

CA

+

AP

•(

CA

-

BA

)-

AP

2
=8+

AP

•(

CA

-

BA

)
=8+

AP

•

CB

由|

AP

|=2，|

BC

|=7
故T的最大值為22，T的最小值為-6
此時PQ與BC平行．

點評：如果兩個非量平面向量平行（共線），則它們的方向相同或相反，此時他們的夾角為0或π．當它們同向時，夾角為0，此時向量的數量積，等于他們模的積，有最大值；當它們反向時，夾角為π，此時向量的數量積，等于他們模的積的相反數，有最小值．如果兩個向量垂直，則它們的夾角為π2，此時向量的數量積，等于0．