Question

若實數(shù)x，y滿足約束條件

x≥1 y≥2x 2x+y-8≤0

，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則z的最小值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、5
• D、13

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，要使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無數(shù)個，則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x+ay（a＞0）得y=-

1

a

x+

z

a

，
∵a＞0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-

1

a

＜0．
平移直線y=-

1

a

x+

z

a

，
由圖象可知當(dāng)直線y=-

1

a

x+

z

a

和直線2x+y-8=0平行時，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值時最優(yōu)解有無數(shù)多個，
此時-

1

a

=-2，即a=

1

2

．即目標(biāo)函數(shù)為z=x+

1

2

y，
當(dāng)直線y=-

1

a

x+

z

a

經(jīng)過點A時，z取得最小值，
由

x=1 y=2x

，解得

x=1 y=2

，即A（1，2），
此時z=1+2×

1

2

=2
故選：A．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．