分析:(I)利用數(shù)列遞推式,計(jì)算前幾項(xiàng),猜想數(shù)列的通項(xiàng),再利用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(II)證明當(dāng)x>0時(shí),ln(1+x)<x,令
x=(k=1,2,…,n)得
ln(1+)<,即
ln(k+2)-ln(k+1)<,從而可得
ln<n |
|
k=1 |
,由此可證得結(jié)論;
(III)由柯西不等式,要證
-++…+<ln,即證
-ln<(a1+…+an)2,即證:
++…+<ln(n+1),構(gòu)建函數(shù)
f(x)=ln(1+x)-,證明當(dāng)x>0時(shí),
ln(1+x)>,取
x=(k=1,2,3,…,n)得
ln>,由此可證得結(jié)論.
解答:(I)解:由
a1=,an+1=得
a2=,a3=,a4=,…,猜想:
an=下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想:
an=(n∈N*)成立.
(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),
a1=,猜想成立;
(ⅱ)假設(shè)n=k(k∈N
*)時(shí),猜想成立,即
ak=;
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+1===,從而n=k+1時(shí)猜想成立.
綜合(。áⅲ┲翰孪氤闪ⅲ磾(shù)列的通項(xiàng)公式為
an=.
(II)證明:當(dāng)x>0時(shí),構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(1+x)-x,則g′(x)=
<0,∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)減
∴g(x)<g(0),∴l(xiāng)n(1+x)<x;
所以令
x=(k=1,2,…,n)得
ln(1+)<,即
ln(k+2)-ln(k+1)<,
∴
n |
|
k=1 |
[ln(k+2)-ln(k+1)]<n |
|
k=1 |
,于是
ln<n |
|
k=1 |
,
從而
n-ln>n |
|
k=1 |
(1-)=n |
|
k=1 |
ak∴
a1+a2+…+an<n-ln(III)證明:由柯西不等式得:
(++…+)[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+a1)]>(a1+…+an)2所以要證
-++…+<ln即證
-ln<(a1+…+an)2,也就是需證:
n-ln(n+1)<++…+,
即證:
++…+<ln(n+1);
因?yàn)楹瘮?shù)
f(x)=ln(1+x)-的導(dǎo)函數(shù)
f′(x)=-=當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,所以當(dāng)x>0時(shí),
ln(1+x)>,
取
x=(k=1,2,3,…,n)得
ln>∴
n |
|
k=1 |
ln>n |
|
k=1 |
,所以
++…+<ln(n+1).
∴
-(++…+)<ln