Question

已知點(diǎn)C（x，y）（x＞0，y＞0）在拋物線f（x）=4-x²上（如圖），過C作CD∥x軸交拋物線于另一點(diǎn)D，設(shè)拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，試求x為何值時，梯形ABCD的面積最大，并求出面積的最大值．

Answer 1

分析：求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)C（x，y），則梯形的面積g(x)=

1

2

(4+2x)•y=(2+x)(4-x2)=-x3-2x2+4x+8，
利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的最大值．

解答：解：令4-x²=0，得A（-2，0），B（2，0），設(shè)C（x，y），又由對稱性知D（-x，y）．
設(shè)梯形面積為g（x），則梯形的面積g(x)=

1

2

(4+2x)•y=(2+x)(4-x2)=-x3-2x2+4x+8，
g′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），令g′（x）=0，因x＞0，得x=

2

3

，
當(dāng)0＜x＜

2

3

時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞

2

3

時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=

2

3

時，g（x）有最大值，最大值為g(

2

3

)=

256

27

．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，求出梯形面積為g（x）的解析式，是解題的關(guān)鍵．