Question

14．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的$\frac{1}{4}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 設雙曲線的一個焦點為（c，0），一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0，運用點到直線的距離公式和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線的一個焦點為（c，0），
一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0，
由題意可得$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=$\frac{1}{4}$•2c，
即有c=2b，由c²=a²+b²，可得c²=a²+$\frac{1}{4}$c²，
即有c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用點到直線的距離公式，考查漸近線方程和離心率公式的運用，屬于基礎題．