如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1 中,側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC成600的角,AA1=2.底面ABC是邊長為2的正三角形,其重心為G點.E是線段BC1上一點,且BE=BC1.
(1)求證:GE∥側(cè)面AA1B1B;
(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小
解法1:(1)延長B1E交BC于F, ∵ΔB1EC∽ΔFEB,BE=EC1 ∴BF=B1C1=BC,從而F為BC的中點. ∵G為ΔABC的重心,∴A、G、F三點共線,且==,∴GE∥AB1, 又GE側(cè)面AA1B1B,∴GE∥側(cè)面AA1B1B (2)在側(cè)面AA1B1B內(nèi),過B1作B1H⊥AB,垂足為H,∵側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,∴B1H⊥底面ABC.又側(cè)棱AA1與底面ABC成60°的角,AA1=2, ∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H=. 在底面ABC內(nèi),過H作HT⊥AF,垂足為T,連B1T.由三垂線定理有, 又平面B1GE與底面ABC的交線為AF,∴∠B1TH為所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°, ∴HT=AHsin30°=, 在RTΔB1HT中,tan∠B1TH==, 從而平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為arctan 解法2:(1)∵側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC成60°的角, ∴∠A1AB=60°,又AA1=AB=2,取AB的中點O,則AO⊥底面ABC. 以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖, 則A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0), A1(0,0,)B1(0,2,),C1(,1,). ∵G為ΔABC的重心,∴G(,0,0), ∵= ∴E(,1,)∴=(0,1,)=, 又GE側(cè)面AA1B1B, ∴GE∥側(cè)面AA1B1B (2)設(shè)平面B1GE的法向量為, 則由及得; . 可取. 又底面ABC的法向量為, 設(shè)平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為, 則cos==,∴=arccos. |
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