Question

若函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[-10，10]上，則使得方程f（x）=1000有正整數(shù)解的實(shí)數(shù)a的取值個(gè)數(shù)為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由題意根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[-10，10]上可得a的范圍，然后對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出函數(shù)在區(qū)間[-10，10]上的最大值，然后再進(jìn)行判斷．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[-10，10]上，
又f（x）=x³-ax=x（x²-a）=0，令f（x）=0，
∴x=0或x=±，
函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[-10，10]上
∴≤10∴a≤100
∵f'（x）═3x²-a，令f（x）′=0，
解得x=±，
∴當(dāng)x＞或x＜-時(shí)，f（x）′＞0，為增函數(shù)；
當(dāng)-＜x＜時(shí)，f（x）′＜0，為減函數(shù)；
∴當(dāng)x=-時(shí)，有極大值，f（-）=-a×（）=≤，
∵＜1000，f（10）=1000-10a＜1000，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性f（x）=x³-ax（a＞0）
知方程f（x）=1000有正整數(shù)解在區(qū)間[10，+∞）上，此時(shí)令x³-ax=1000，可得
此時(shí)有a=，由于x為大于10的整數(shù)，由上知≤100，令x=11，12，13時(shí)，不等式成立，
當(dāng)x=14時(shí)，有=196-＞100
故可得a的值有三個(gè)，
應(yīng)選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出f（x）在區(qū)間[-10，10]上的值域，是一道好題．