Question

16．甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處投中一球得2分，不中得0分，在距籃筐3米線段外設(shè)一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處投中一球得3分，不中得0分，已知甲乙兩人在A點(diǎn)投中的概率都是$\frac{1}{2}$，在B點(diǎn)投中的概率都是$\frac{1}{3}$，且在A，B兩點(diǎn)處投中與否相互獨(dú)立，設(shè)定甲乙兩人現(xiàn)在A處各投籃一次，然后在B處各投籃一次，總得分高者獲勝．
（Ⅰ）求甲投籃總得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求甲獲勝的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得ξ的可能取值為0，2，3，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙投籃總得分X的分布列，由此能求出甲獲勝的概率．

解答 解：（Ⅰ）由已知得ξ的可能取值為0，2，3，5，
P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=5）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	3	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Eξ=$0×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{1}{3}+5×\frac{1}{6}$=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙投籃總得分X的分布列為：

X	0	2	3	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

∴甲獲勝的概率p=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}）$+$\frac{1}{6}（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}）$=$\frac{13}{36}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．