Question

在棱長為2cm的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁的中點是P，問過點A₁作與截面PBC₁平行的截面也是三角形嗎？并求該截面的面積．

Answer 1

設過點A₁與截面PBC₁平行的截面為α，則α與平面PBC₁被平面A₁B₁C₁D₁和ABB₁A₁所截，則交

線平行，故在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，過A₁作A₁E∥PC₁交C₁D₁于E，則E為C₁D₁中點，在平面ABB₁A₁內(nèi)，過A₁作A₁F∥PB交AB于F，則F為AB的中點．

又截面α與上、下底面的交線平行，

∴連結(jié)CF為下底面的交線．

同理連結(jié)CE為α與平面CDD₁C₁的交線．

由A₁E綊CF知截面為平行四邊形，又A₁E＝A₁F，

∴截面平行四邊形為菱形，故其兩對角線A₁C與EF相互垂直，面積S＝A₁C·EF＝a²，a＝2，

∴S＝4cm².