Question

已知函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）證明：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）若f(3m)＜f(3

3

)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差，利用所給恒等式進(jìn)行變形，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而證明出f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉“f”，列出關(guān)于m的不等式，解之即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增． 
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
∵f(3m)＜f(3

3

)，
∴3m＜3

3

，即3m＜3

3

2

，解得m＜

3

2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞，

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及應(yīng)用單調(diào)性解不等式．對(duì)于定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是判斷出作差的正負(fù)，本題的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造作差，使得其能判斷符號(hào)．屬于中檔題．