Question

5．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，|φ|＜π，b為常數(shù)）的一段圖象（如圖所示）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A、b與ω的值，再求出φ的值，即可寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意可知A=$\frac{3-0}{2}$=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{3}{2}$，
T=2[π-（-$\frac{π}{2}$）]=3π，ω=$\frac{2}{3}$，
當x=π時取得最小值0，所以0=$\frac{3}{2}$sin（$\frac{2}{3}$×π+φ）+$\frac{3}{2}$，
故：$\frac{2}{3}$×π+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得：φ=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
因為|φ|＜π，
所以φ=$\frac{5π}{6}$，
函數(shù)f（x）=$\frac{3}{2}$sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$）+$\frac{3}{2}$；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{8π}{6}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x≤-$\frac{2π}{6}$+2kπ，k∈Z，
-2π+3kπ≤x≤-$\frac{π}{2}$+3kπ，k∈Z，
∴該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[-2π+3kπ，-$\frac{π}{2}$+3kπ]，k∈Z；
同理，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[-$\frac{π}{2}$+3kπ，π+3kπ]，k∈Z．

點評 本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數(shù)解析式以及單調(diào)性問題，是基礎題目．