Question

10．某小區(qū)內有一塊荒地ABCDE，今欲在該荒地上劃出一塊長方形地面（不改變方位）進行開發(fā)（如圖所示），問如何設計才能使開發(fā)的面積最大？最大開發(fā)面積是多少？（已知BC=210m，CD=240m，DE=300m，EA=180m）

Answer 1

分析 設計長方形公寓分三種情況：當一端點在BC上時，只有在B點時長方形BCDB₁面積最大；當一端點在EA邊上時，只有在A點時長方形AA₁DE的面積最大；當一端點在AB邊上時，設該點為M，則可構造長方形MNDP，并補出長方形OCDE．由此能求出結果．

解答 解：如圖所示，設計長方形公寓分三種情況
①當一端點在BC上時，只有在B點時長方形BCDB₁面積最大，
∴S₁=210×240=50400m²．
②當一端點在EA邊上時，只有在A點時長方形AA₁DE的面積最大，
∴S₂=180×300=54000m²．
③當一端點在AB邊上時，設該點為M，則可構造長方形MNDP，并補出長方形OCDE．
設MQ=x（0≤x≤60），∴MP=PQ-MQ=240-x．
又OA=60，OB=90，則$\frac{60}{90}=\frac{x}{QB}$，∴QB=$\frac{3}{2}$x，
∴MN=QC=QB+BC=$\frac{3}{2}$x+210，
∴S₃=S_MNDP=MN•MP=（$\frac{3}{2}$x+210）•（240-x）
=-$\frac{3}{2}$（x-50）²+54150，
當x=50時，S₃=54150．比較S₁，S₂，S₃，得S₃最大，
此時MQ=50m，BM=25$\sqrt{13}$m，
故當長方形一端點落在AB邊上離B點25$\sqrt{13}$m處時公寓占地面積最大，最大面積為54150m²．

點評 本題考查函數在生產生活中的具體運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．