Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足：?a，b∈R，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）．
（1）用定義證明：f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若

4

x

+

9

y

=4試比較f（x+y）與f（6）的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，用單調(diào)性的定義判斷f（x）在R上的增減性即可；
（2）由

4

x

+

9

y

=4，把x+y化為能利用基本不等式的不等式，求出x+y的最小值，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂；
根據(jù)題意得，
x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
又∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）為R上的增函數(shù)；

（2）∵

4

x

+

9

y

=4，
∴x+y=（x+y）[

1

4

（

4

x

+

9

y

）]=

1

4

[4+9+

4y

x

+

9x

y

]，
又∵x＞0，y＞0，
∴x+y≥

1

4

[13+2

4y x • 9x y

]=

25

4

（當(dāng)且僅當(dāng)

4y

x

=

9x

y

時(shí)，取“=”），
即x=

5

2

，y=

15

4

時(shí)，（x+y）_min=

25

4

＞6；
又∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴f（x+y）＞f（6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．