Question

已知定義在上函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的值域．

Answer 1

（1）；（2）函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/db/e/jerjl2.png" style="vertical-align:middle;" />.

解析試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，得到關(guān)系式，代入函數(shù)的解析式，從中求解方程組即可得出的值，從而可計(jì)算出的值；（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/29/9/h2ibm.png" style="vertical-align:middle;" />的分子為一次式，分母為二次式，從而可利用判別式法或基本不等式法進(jìn)行求解該函數(shù)的值域.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ac/e/rcqbq.png" style="vertical-align:middle;" />為上的奇函數(shù)
所以即
所以
（2）法一：設(shè)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b9/3/1vje94.png" style="vertical-align:middle;" />
則當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程有根，當(dāng)時(shí)，根為符合；
當(dāng)時(shí)，，于是且；
綜上可知，函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/db/e/jerjl2.png" style="vertical-align:middle;" />
法二：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
所以
當(dāng)時(shí)，即（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立）
所以，所以
綜上可知函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/db/e/jerjl2.png" style="vertical-align:middle;" />.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)值域的求法——判別式法、基本不等式法.