Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，點D是AB的中點．

（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求證：AC1∥平面CDB1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，

所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．

又因為AC=3，BC=4，AB=5，

所以AC2+BC2=AB2，

所以AC⊥BC．

又C1C∩BC=C，

所以AC⊥平面CC1B1B，

所以AC⊥BC1

（2）證明：連結C1B交CB1于E，再連結DE，

由已知可得E為C1B的中點，

又∵D為AB的中點，∴DE為△BAC1的中位線．

∴AC1∥DE

又∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1

∴AC1∥平面CDB1．

【解析】（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用線面垂直的性質定理可得CC1⊥AC，再利用線面垂直的判定定理即可證明結論；（2）利用直三棱柱的性質、正方形的性質、三角形的中位線定理即可得出ED∥AC1 ， 再利用線面平行的判定定理即可證明結論