在600的二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，已知A、B到l的距離分別是2和4，且AB=10，A、B在l的射影分別為C、D．
求：（1）CD的長(zhǎng)度；
（2）AB和棱l所成的角．

解：（1）過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線，取CE=BD=4，
∵AC⊥l，而CE⊥l，則∠ACE=60°
根據(jù)余弦定理可知cos∠ACE=
解得：AE=
而三角形AEB為直角三角形，則BE=2
即CD=2
（2）∵BE∥l
∴AB和棱l所成的角為∠ABE
在直角三角形AEB中，cos∠ABE=
∴AB和棱l所成的角為arccos．
分析：（1）要求CD長(zhǎng)，應(yīng)將CD放在三角形中，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線，取CE=BD=4，根據(jù)余弦定理可求出AE的長(zhǎng)，最后在直角三角形AEB求出BE長(zhǎng)，而四邊形BECD為矩形，即可求出所求；
（2）將l平移到BE，從而AB和棱l所成的角為∠ABE，然后在直角三角形AEB中，求出此角即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩點(diǎn)的距離，以及異面直線所成角的求解，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，計(jì)算能力、推理能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在600的二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，已知A、B到l的距離分別是2和4，且AB=10，A、B在l的射影分別為C、D．
求：（1）CD的長(zhǎng)度；
（2）AB和棱l所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下面四個(gè)計(jì)算題中，結(jié)果正確的是
①②③
①②③
．（填序號(hào)）
①若|
a
|=2，|
b
|=3，且
a
與
b
的夾角為600，則|
a
-
b
|=
7
；
②棱長(zhǎng)為2正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A到平面BDD1B1的距離為d，則d=
2
；
③棱長(zhǎng)都是1的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600，則對(duì)角線的長(zhǎng)AC1=
6
；
④在1200的二面角α-AB-β中AC?α，BD?β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，則點(diǎn)C與D的距離CD=
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面角為600的二面角-l-內(nèi)有一點(diǎn)P，P到、分別為PC=2cm,PD=3cm,則垂足的連線CD等于多少？（2）P到棱l的距離為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆度寧夏高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：填空題

如圖,600的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6,BD=8，則CD＝___________

 

 

 

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