Question

（本小題共15分）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有且當(dāng)x＞0，

（1）判斷的奇偶性；

（2）求在區(qū)間[－3,3]上的最大值；

（3）解關(guān)于的不等式

Answer 1

（1）為奇函數(shù)；（2）6；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)a>2時(shí)，。

【解析】

試題分析：（1）令可得，再令，根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷為奇函數(shù)；

（2）由已知條件和單調(diào)函數(shù)的定義判斷函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，所以在區(qū)間上，；（3）由于函數(shù)是奇函數(shù)，整理得又是減函數(shù)，所以，對(duì)參數(shù)分類討論，可求不等式的解集。

試題解析：（1）取則.

取

對(duì)任意恒成立 ∴為奇函數(shù)

（2）任取， 則

.

又為奇函數(shù)

∴在（－∞，+∞）上是減函數(shù).

對(duì)任意，恒有

而

...................8分

∴在[－3，3]上的最大值為6

（3）∵為奇函數(shù)，∴整理原式得

進(jìn)一步可得

而在（－∞，+∞）上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí),

當(dāng)a>2時(shí)，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí),

當(dāng)a>2時(shí)，.

考點(diǎn)：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，解不等式，分類討論。