Question

已知|

a

|=

2

，|

b

|=1，

a

與

b

的夾角為45°，使向量（2

a

+λ

b

）與（λ

a

-3

b

）的夾角是銳角的λ的取值范圍為

{λ|λ＞2，或λ＜-3}

．

Answer 1

分析：由兩個向量的數(shù)量積的定義求得

a

•

b

=1，再由（2

a

+λ

b

）•（λ

a

-3

b

）＞0且

2

λ

≠

λ

-3

，可得λ²+λ-6＞0，且λ²≠-6．由此求得λ的取值范圍．

解答：解：由題意可得

a

•

b

=

2

×1×cos45°=1，再由向量（2c+λ

b

）與（λ

a

-3

b

）的夾角是銳角可得 （2

a

+λ

b

）•（λ

a

-3

b

）＞0，且（2

a

+λ

b

）與（λ

a

-3

b

）不共線．
故有 2λ

a

2+（ λ²-6）

a

•

b

-3λ

b

2＞0，且

2

λ

≠

λ

-3

．
即 4λ+λ²-6-3λ＞0，且λ²≠-6．解得 λ＞2，或λ＜-3，
故答案為 {λ|λ＞2，或λ＜-3}．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．