設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…的前n項的和Sn與an的關(guān)系是Sn=-ban+1-
1
(1+b)n
,其中b是與n無關(guān)的常數(shù),且b≠-1.
(1)求an和an-1的關(guān)系式;
(2)寫出用n和b表示an的表達(dá)式;
(3)當(dāng)0<b<1時,求極限
lim
n→∞
Sn
(1)an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-
1
(1+b)n
+
1
(1+b)n-1

=-b(an-an-1)+
b
(1+b)n
(n≥2)

解得an=
b
1+b
an-1+
b
(1+b)n+1
(n≥2)(1)

(2)∵a1=S1=-ba1+1-
1
1+b
,∴a1=
b
(1+b)2
.(2)

由(1)得
an=
b
1+b
[
b
1+b
an-2+
b
(1+b)n
]+
b
(1+b)n+1

=(
b
1+b
)2an-2+
b+b2
(1+b)n+1

=(
b
1+b
)2[
b
1+b
an-3+
b
(1+b)n-1
]+
b+b2
(1+b)n+1

=(
b
1+b
)3an-3+
b+b2+b3
(1+b)n+1

由此推得an=(
b
1+b
)n-1a1+
b+b2++bn-1
(1+b)n+1
(3)

將(2)代入(3)得an=
b+b2++bn
(1+b)n+1

an=
b-bn+1
(1-b)(1+b)n+1
,b≠1
n
2n+1
,b=1

(3)Sn=
(-b)(b-bn+1)
1-b
•(
1
1+b
)n+1+1-(
1
1+b
)n,(b≠1)

0<b<1時,
lim
n→∞
bn=0,
lim
n→∞
(
1
1+b
)n=0

∴當(dāng)0<b<1時,
lim
n→∞
Sn=1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…的前n項的和Sn與an的關(guān)系是Sn=-ban+1-
1
(1+b)n
,其中b是與n無關(guān)的常數(shù),且b≠-1.
(1)求an和an-1的關(guān)系式;
(2)寫出用n和b表示an的表達(dá)式;
(3)當(dāng)0<b<1時,求極限
lim
n→∞
Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…的前n項的和Sn與an的關(guān)系是Sn=kan+1,(其中k是與n無關(guān)的常數(shù),且k≠1).
(1)試寫出用n,k表示的an的表達(dá)式;
(2)若
limn→∞
sn
=1,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0.證明:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對任何n∈N,都有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
n
a1an+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…滿足a1=a2=1,a3=2,且對任何自然數(shù)n,都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,則a1+a2+…+a100的值是
200
200

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:安徽省高考真題 題型:證明題

設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0,證明,{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對任何n∈N+都有。

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