Question

20．若[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，函數(shù)f（x）=x-[x]，x∈R，則下列四個關(guān)于函數(shù)f（x）的命題：
①f（x）的值域為[0，1）；
②f（x）為R上的增函數(shù)；
③f（x）為奇函數(shù)；
④f（x）為周期函數(shù)．
其中真命題的序號為（　�。�

• A． ①④
• B． ①③
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 根據(jù)[x]的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，周期性以及函數(shù)值域的性質(zhì)分別進行判斷即可．

解答 解：∵f（x）=x-[x]，
∴f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f（x），
∴f（x）=x-[x]在R上為周期是1的函數(shù)．故④正確，
當0≤x＜1時，f（x）=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域為[0，1），∴①正確，
∵函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，∴②錯誤
∵f（-0.1）=-0.1-[-0.1]=-0.1-1=-1.1，而f（0.1）=0.1-[0.1]=0.1-0=0.1，
所以f（-0.1）≠-f（0.1），所以函數(shù)不是奇函數(shù)，∴③錯誤．
故選A．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的基本性質(zhì)--定義域、值域、單調(diào)性、周期性．考查對基礎知識的掌握程度和靈活運用．