Question

（本題12分）已知函數(shù)f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,  

（I）求f(x)的極值.

（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（I） f ’(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ‘(x)=0，解得x=－1或x=3，……………………2分

        當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		-1
	�。�	0	+	0	�。�
		極小值		極大值

……………………4分

因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，且  

      當(dāng)時(shí)， 有極大值，且……………………6分

（II）因?yàn)閒(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，……………………7分

所以f(2)>f(－2)．

因?yàn)樵冢ǎ?，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上單調(diào)遞增，……………………8分

又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2，2]上

的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．……………………10分   

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

      即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7．……………………12分

 

【解析】略