等差數(shù)列{an}的公差d不為0，Sn是其前n項(xiàng)和，給出下列命題：
①若d＜0，且S3=S8，則S5和S6都是{Sn}中的最大項(xiàng)；
②給定n，對(duì)于一切k∈N*（k＜n），都有an-k+an+k=2an；
③若d＞0，則{Sn}中一定有最小的項(xiàng)；
④存在k∈N*，使ak-ak+1和ak-ak-1同號(hào)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】分析：根據(jù)等差數(shù)列的求和公式sn=na1+d=n2+（a1-）n，因?yàn)閐小于0得到sn是開口向下的拋物線，根據(jù)S3=S8得到拋物線的對(duì)稱軸即可得到最大項(xiàng)，得到①正確；同理d大于0時(shí)，得到函數(shù)的最小項(xiàng)，③正確；根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到②正確；根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到ak-ak+1和ak-ak-1異號(hào)即④錯(cuò)．
解答：解：因?yàn)閧an}成等差數(shù)列，所以其前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)的形式且缺少常數(shù)項(xiàng)，d＜0說明二次函數(shù)開口向下，又S3=S8，說明函數(shù)關(guān)于直線x=5.5對(duì)稱，所以S5、S6都是最大項(xiàng)，①正確；
同理，若d＞0，說明函數(shù)是遞增的，故{Sn}中一定存在最小的項(xiàng)，③正確；
而②是等差中項(xiàng)的推廣，正確；
對(duì)于④，ak-ak+1=-d，ak-ak-1=d，因?yàn)閐≠0，所以二者異號(hào)．
所以正確命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故選B
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．
（1）設(shè)數(shù)列{an}是公方差為p的等方差數(shù)列，求an和an-1（n≥2，n∈N）的關(guān)系式；
（2）若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將a1，a2，a3，…，a10這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

按照等差數(shù)列的定義我們可以定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a8的值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的平方差是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；
（Ⅱ）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an2=2n+1bn．若不等式2n•Sn＞m•2n-2an2對(duì)?n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起開始，每一項(xiàng)的平方與它前一項(xiàng)的平方的差都是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公方差．
（1）若數(shù)列{bn}是等方差數(shù)列，b1=1，b2=3，求b7；
（2）是否存在一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列或等比數(shù)列，同時(shí)也是等方差數(shù)列？若存在，求出這個(gè)數(shù)列；若不存在，說明理由．
（3）若正項(xiàng)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公方差為4的等方差數(shù)列，數(shù)列{
1
an
}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)p，q，使不等式Tn＞
pn+q
-1對(duì)一切n∈N*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)的數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是同一常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Tn，并且an2=T2n-1，求通項(xiàng)an；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且an2=2n+1bn．2n•Sn＞m•2n-2an2對(duì)?n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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