Question

【題目】設函數(shù)的定義域為，并且滿足，且，當時，.

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)的奇偶性,并給出證明；

（3）如果，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)為奇函數(shù)；（3）；

【解析】

試題分析：（1）利用賦值法，求的值，即令，能求出；

（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)的奇偶性，即令,可得到與的關系；

（3）由奇偶性及，對進行轉(zhuǎn)化，可得到，然后再利用定理證明在R上的單調(diào)性，即可求出的取值范圍

試題解析：

（1）令，則，所以；

（2）因為，

所以，

由（1）知，

所以，又函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱，

所以函數(shù)為奇函數(shù).

（3）任取，不妨設，則，

因為當時，

所以，即，所以

所以函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增.

因為

所以

所以

因為

所以

所以

因為函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增

所以

從而

所以的取值范圍為