Question

已知3+sin2β+2t＞（2

2

+

2

t）sin（β+

π

4

）+

2 2

cos( π 4 -β)

對(duì)于β∈[0，

π

2

]恒成立，則t的取值范圍是（　�。�

• A、t＞4
• B、t＞3
• C、t＞2
• D、t≥-2

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)x=sinβ+cosβ，β∈[0，

π

2

]，得出sin2β=x²-1，sin（β+

π

4

）=cos（β-

π

4

）=

2

2

x，把原不等式化為x²-（t+2）x-

4

x

+2+2t＞0，
再利用分離參數(shù)法得t＞x+

2

x

，從而求出t的取值范圍．

解答： 解：設(shè)x=sinβ+cosβ，β∈[0，

π

2

]，
∴x=

2

sin（β+

π

4

），
∵β∈[0，

π

2

]，
∴β+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴x∈[1，

2

]；
又∵x²=1+sin2β，∴sin2β=x²-1，
∵x=

2

sin（β+

π

4

），∴sin（β+

π

4

）=cos（β-

π

4

）=

2

2

x，
∴不等式3+sin2β+2t＞（2

2

+

2

t）sin（β+

π

4

）+

2 2

cos( π 4 -β)

可化為3+（x²-1）+2t＞（2

2

+

2

t）•

2

2

x+

2 2

2 2 x

，即x²-（t+2）x-

4

x

+2+2t＞0，
∴（2-x）t＞2x-x²+

4-2x

x

=x（2-x）+（2-x）•

2

x

；
又∵x∈[1，

2

]，
∴2-x＞0，
∴t＞x+

2

x

，
令函數(shù)f（x）=x+

2

x

，
則函數(shù)f（x）在x∈[1，

2

]上是減函數(shù)，
∴f（x）在x∈[1，

2

]上的最大值為f（1）=3；
∴t的取值范圍為（3，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換問(wèn)題，不等式的恒成立問(wèn)題，是綜合性題目．