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5.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=8(1a1$+$1a2),a2+a3+a4=64(1a2$+$1a3$+$1a4).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令cn=1-(-1)nan,不等式ck≥2016(1≤k≤100,k∈N*)的解集為M,求所有ak(k∈M)的和.

分析 (I)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由a1+a2=8(1a1$+$1a2),a2+a3+a4=64(1a2$+$1a3$+$1a4),即可求出首項(xiàng)和公比,即可求出通項(xiàng)公式;
(II)由(I)可得由(I)可得:ck=1-(-1)kak=1-(-2)k,分當(dāng)n為偶數(shù)和n為奇數(shù)可以判斷數(shù)列{ak}(k∈M)組成首項(xiàng)為211,公比為4的等比數(shù)列.利用其前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由a1+a2=8(1a1$+$1a2),得到a1+a1q=8({\frac{1}{a_1}+1a1q),①
由a2+a3+a4=64(1a2$+$1a3$+$1a4)得到a1(q+q2+q3)=164a11q+1q2+1q3),②
由①②構(gòu)成方程組,化簡后得{a21q=8a21q4=64,
解得a1=2,q=2,
∴an=2n,
(Ⅱ)由(I)可得:ck=1-(-1)kak=1-(-2)k
當(dāng)n為偶數(shù),ck=1-2k≥2016,即2k≤-2015,不成立
當(dāng)n為奇數(shù),ck=1+2k≥2016,即2k≥2015,
∵210=1024,211=2048,
∴M={11,13,15,…,99},
數(shù)列{ak}(k∈M)組成首項(xiàng)為211,公比為4的等比數(shù)列,且項(xiàng)數(shù)為45,
則所有ak(k∈M)的和為211144514=210120483

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于中檔題.

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