Question

10．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥1\\ x-y+1≥0\\ x+y≤6\end{array}\right.$，則z=$\frac{x+2y}{x+y}$的取值范圍是[$\frac{7}{6}$，$\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 考查約束條件表示的可行域，求出四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，通過換元法化簡目標(biāo)函數(shù)，求出斜率的范圍，然后求解目標(biāo)函數(shù)的范圍即可．

解答 解：作出滿足x≥1，y≥1，x+y≤6，x-y+1≥0的可行域如圖中的陰影部分，
四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1）、B（1，2）、C（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$）、D（5，1），
將目標(biāo)函數(shù)變形為z=$\frac{x+2y}{x+y}$=$\frac{1+\frac{2y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$，令k=$\frac{y}{x}$，
則z=$\frac{1+2k}{1+k}$，而k=$\frac{y}{x}$表示可行域中的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，
數(shù)形結(jié)合易得可行域中的點(diǎn)D、B與原點(diǎn)連線的斜率分別取得最小值、最大值，故k∈[$\frac{1}{5}$，2]，
再由函數(shù)的性質(zhì)易得z∈[$\frac{7}{6}$，$\frac{5}{3}$]．
故答案為：$[{\frac{7}{6}，\frac{5}{3}}]$．

點(diǎn)評 在解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，我們常用“角點(diǎn)法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域⇒②求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)⇒③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)⇒④驗(yàn)證，求出最優(yōu)解．注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．